Rumus Menghitung Panjang Sabuk Lilitan Minimal Lingkaran

Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas panjang sabuk lilitan minimal yang membatasi dua bulat atau lebih. Dan pembahasan ini hanya dibatasi pada bulat yang memiliki jari-jari sama besar.

Rumus Panjang Sabuk Lilitan

Perhatikan gambar di bawah ini! Tiga buah bulat yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit secara horizontal dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga bulat tersebut saling bersinggungan dengan garis singgung AB, BC, DE, dan EF.

Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua bulat tersebut yakni sebagai berikut.

Panjang lilitan
= AB + BC + busur CD + DE + EF + busur FA
= 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran) + 2r + 2r + ( ½ × keliling lingkaran)
= 2r + 2r + ( ½ × 2πr) + 2r + 2r + ( ½ × 2πr) (d = 2r)
= d + d + (πr) + d + d + (πr)
= 4d + 2πr
= 4d + πd

Perhatikan, bahwa angka 4 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akhir lilitan sabuk. Lalu bagaimana cara menghitung panjang sabuk lilitan minimal jikalau tiga buah bulat dililit dengan posisi lilitan ibarat gambar di bawah ini!

Perhatikan gambar tersebut! Tiga buah bulat yang berjari-jari sama, yaitu r, dililit dengan sebuah sabuk. Akibatnya, tiga bulat tersebut saling bersinggungan, dengan garis singgung AB, CD, dan EF.

Panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan tiga bulat tersebut yakni sebagai berikut.

Perhatikan ΔPQR! Karena ΔPQR yakni segitiga sama sisi, maka ∠PRQ = 60^o.
Sehingga, ∠FRA = 360^o – (∠FRP + ∠PRQ + ∠ARQ)
                             = 360o – (90^o + 60^o + 90^o)
                             = 360^o – 240^o
                             = 120o

Maka, busur FA = 120^o/360^o × keliling bulat = ⅓ keliling lingkaran.

Karena bulat yang diikat yakni bulat yang berjari-jari sama, maka busur FA = busur BC = busur ED.

Sehingga panjang lilitannya adalah:
= AB + busur BC + DC + busur DE + EF + busur FA
= AB + busur FA + DC + busur FA + EF + busur FA
= AB + DC + EF + 3 busur FA
= 2r + 2r + 2r + (3 × ⅓ × keliling lingkaran) alasannya diameter, d = 2r, maka,
= d + d + d + (keliling lingkaran)
= 3d + 2πr
= 3d + πd

Perhatikan, angka 3 yang muncul sama dengan banyaknya garis singgung yang terjadi akhir lilitan sabuk.

Dengan demikian sanggup disimpulkan, jikalau beberapa bulat yang berdiameter sama, yaitu d, dililit sebuah sabuk sedemikian rupa sehingga saling bersinggungan, dan n banyaknya garis singgung yang terjadi akhir lilitan sabuk, maka berlaku rumus.

Panjang sabuk lilitan minimal = nd + πd

Contoh Soal

Berdasarkan gambar di bawah ini, jikalau jari-jari bulat 9 cm, hitunglah panjang lilitan minimalnya!

Penyelesaian:

Jari-jari = 9 cm
d = 2r
   = 2 × 9
   = 18 cm
Banyaknya garis singgung = n = 4 buah

Panjang lilitan minimal = nd + πd
= 4 × 18 + 3,14 × 18
= 72 + 56,52
= 128,52 cm
Jadi, panjang lilitan minimalnya yakni 128,52 cm.

Baca juga: Rumus Panjang Garis Singgung Persekutuan Dua Lingkaran
Sumber https://www.berpendidikan.com

Share :